關於浮點數誤差與IEEE-754

Posted on: 2018-03-21 /
Categories: 程式筆記

在程式語言中，浮點數基本都是用 float 與 double來表示，但都會存在誤差

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float t1 = 0.69 * 10;
cout << setprecision(32) << t1 << endl;
 
if(t1 == 6.9)
    cout << "相等" << endl;
else
    cout << "不相等" << endl;
 
// output
// => 6.900000095367431640625
// => 不相等

正常6.9 * 10 應該要等於6.9，但是答案卻是不相等?

這個原因跟浮點數的儲存原理有關，讓我們開始吧!

 

何謂IEEE-754

自電腦發明以來，曾出現過各種不同的浮點數表示法，但目前最通用的是IEEE二進制運算標準(IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic , 簡稱IEEE-754)

在IEEE-754標準中定義了四種浮點數格式，但我只講基本的兩種，分別為單精準度float(32bit)和雙精準度double(64bit)。其中單精準度有24位有效儲存數字，而雙精準則有53位有效數字，相對於十進位來說，分別是7位(224 = 107)和16位(253 = 1016)。

 

為了方便說明，所以先解釋什麼是正規化

正規化就像是數學中的科學記號，如123456通常會表示成1.23456 x 105，而指數部分也有可能是負的，如 0.123456 就會變成 1.23456 x 10-1。

二進位的正規化 :

這邊以13.125為例，先13轉換為2進制，可得1101，再將0.125轉為2進制

  • 0.125 x 2 = 0.25 … 整數為0 -> 0
  • 0.25 x 2 =0.5 … 整數為0 -> 0
  • 0.5 x 2 = 1 … 整數為1 -> 1

所以13.125 = 1101.001，經過正規化後可得 1.101001 x 23

 

在IEEE-754中，浮點數通常由三個部分組成 :

  • 符號(S) : 用來表示正/負(0/1)。
  • 指數(E) : 正規化後的次方數，採用超127格式，即將原本的次方數加上127，因為次方數有可能是負的，加上在電腦中要表示負號時，必須拿一個位元來表示，所以就將-128~+127改為0~255，所以基準點就從0變成127。
  • 尾數(M) : 正規化後的小數點。

以下範例皆為單精準度 :

 

浮點數與10進制的轉換

以剛剛的 13.125 轉浮點數為例 :

  1. 由於13.125為正，所以符號(S) = 0
  2. 先將數值轉成二進位並正規化 13.125 = 1101.001 = 1.101001 x 23
  3. 計算指數(E) = 127 + 3 = 01111111 + 11 = 10000010
  4. 計算尾數(M) = 101001，因為正規化後一定是1.xxxx，所以不需要儲存個位數
  5. 將各個數值填入浮點數規格中
    S——–E———————M———————–
    0 10000010 101001 0000 0000 0000 0000 0

這樣就就完成了10進制轉IEEE-754浮點數

 

而浮點數轉10進制也是一樣

將剛剛的0 10000010 10100100000000000000000轉10進制 :

  1. 由於S = 0，所以此數為正
  2. 中間8位元的超127指數(E)為 100000102，將其還原130 – 127 = 100000102 – 01111112 可得 3 = 112
    所以要將尾數乘上23
  3. 最右邊23個為位元值為101001……，將隱藏的個位數還原，可得1.101001……
  4. 最後將還原後的尾數乘上指數 1.1010012 x 23，並轉為10進位，即可得到 13.125

 

所以我們可以知道，以32bit的單精度浮點數來說，可以儲存的最大位數為 尾數 23+隱藏個位數 1 = 24位。

 

關於浮點數的精度

因為有些10進制小數無法完美的用2進制表示，只能用無限的位數來趨近於10進制小數，當我們以24位數為上限時，在儲存時就會省略一些位數，導致還原時的數字不夠精準。

 

以0.01為例，將它轉為單純的二進制可得

0.000000 101000111101011100001010 0011110101 ….

正規化後得 1.01000111101011100001010 * 2-7，在將它存入32bit的IEEE754規格中。

但是單精度浮點數最多只能存24位數，代表後面一串位數都必須省略，所以當我們再還原時，就不再是0.01了

而是 0.0099999997764826

 

在浮點數中，最能逼近1的數為 2-1 x 2-2 x 2-3 x 2-4 + ……

根據等比級數計算，所以單精度浮點數能表達的最大小數就是 :

\(S_{24} = 1 – (\frac{1}{2})^{24}\)

= 1 – 0.000000059604…. (誤差)

= 0.99999994039

 

從上面的計算可以知道，float總共7位數在儲存時不會被誤差影響(含整數部分)，這就是為什麼程式中的float的準度為7位，double為15位的原因。

 

如果想要有更精確的科學運算的話，只能透過陣列來搭建一個小數運算，這時你要多精確都沒有問題，之後有機會再寫一篇關於大數運算的文章。

 

 

 

如有錯誤請指證

 

 

感謝網友”Hsu Wei-yuan”指正:

精確位數並不局限於小數後，而是float的整數+小數部分從最前面開始算起，前7位數是準確的。

並且float前後誤差不超過原本數字的 1/(2^24)，除了0以外的數字，二進位科學記號的個位數一定是1，也就是一定會變成 (1.xxx * 2^x )
所謂浮點誤差就是尾數的地方裝不下了，以float為例，就是1.xxx後面的第24個x存不起來，這時不管是進位還是捨棄，影響力都有限
尾數被浮點誤差影響最多的情況是
1.000000000000000000000001變成
1.00000000000000000000000或
1.00000000000000000000001
這時前後誤差是原本數字的1/(2^24)，其他情況因為尾數本身更大，所以尾數24位以後造成的誤差對整體比例只會更少

從以下範例可以得知精確的數字總共7位數

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#include <iostream>
#include <iomanip>
using namespace std;
 
int main()
{
float t1 = 0.69 * 10;
cout << setprecision(32) << t1 << endl;
//output => 6.900000095367431640625
float t2 = 0.1234567;
cout << setprecision(32) << t2 << endl;
//output => 0.12345670163631439208984375
float t3 = 123.4567;
cout << setprecision(32) << t3 << endl;
//output => 123.45670318603515625
float t4 = 16777216, t5=0.5;
float t6 = t4 + t5;
cout << setprecision(32) << t6 << endl;
//output => 16777216
return 0;
}

 

 

 

參考資源

WIKI IEEE-754 : here

IEEE 浮點運算標準 : here

C 語言取出/設定浮點數正規化欄位 : here

C/C++ 浮點數特殊值 : here

[C&C++] 浮點數精準度 (Floating-Point Precision) : here

IEEE-754 浮點數的表示法 : here

MSDN IEEE 浮點表示 : here

Binary floating point and .NET : here

What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic : here

C语言浮点型数据存储结构 : here