遊戲中的碰撞檢測Collision Detection

應該很多人對電腦遊戲中如何處理碰撞處理感興趣,希望大家在讀完這篇文章後能了解電腦是如何偵測物體的碰撞。

而這篇文有三個主要目的 :

  1. 對遊戲中的碰撞感興趣,卻不會寫程式的人可以了解原理
  2. 讓有能力實作的人,可以跟著文章寫出簡易的多邊形碰撞檢測
  3. 自己的學習筆記

讓我們開始吧。

 

這次要來介紹的主題是分離軸碰撞檢測(Separating Axis Theorem, SAT)

分離軸定理通常用語檢測兩個多邊形或多邊形與圓之間的碰撞,跟所有演算法一樣他具有一定的優勢與缺點。

我會慢慢講解背後的原理,並使用程式碼做簡易的範例。

 

範例所使用的語言為Java Script,加上自製的向量函式庫,但我想觀念懂了應該不會有太大問題。

 

閱讀時建議將頁面拉大一點,一些圖片的呈現會比較清楚。

因為這篇文有點長,在閱讀時請善用目錄連結與下方的Go Top按鈕。

目錄

  1. 矩形碰撞檢測
  2. 什麼是分離軸檢測?
  3. 知識補充1 – 向量
  4. 知識補充2 – 旋轉變換
  5. 如何取得分離軸上的投影?
  6. 編寫程式碼-投影、旋轉與判斷
  7. 如何取得分離軸?
  8. 粗糙的矩形檢測
  9. 編寫程式碼 – 多邊形與多邊形
  10. 編寫程式碼 – 多邊形與圓
  11. SAT的總結
  12. 多物體的碰撞優化
  13. 動態物體間的碰撞檢測
  14. 結尾與感想
  15. 參考資源

 

1. 矩形碰撞檢測

我想先從最簡單的碰撞檢測開始講,這樣比較好讓各位了解為什麼需要分離軸檢測,所以先從一般的矩形碰撞開始。

 

AABB碰撞檢測(Axis-aligned Bounding Box):

為了方邊物體之間進行碰撞檢測運算,通常會對物體創建一個長方形將其包圍,AABB包圍盒也被稱為軸對齊包圍盒。

 

一般二維的AABB包圍盒具備兩項特點:

  1. 以矩形包圍物體
  2. 矩形的每條邊,皆與坐標系的軸垂直

簡單來說就是用矩形把物體包起來,檢查矩形之間是否發生碰撞

 

如下圖,黑框及為包圍盒,在做碰撞檢測時,只需要檢查包圍盒之間是否發生碰撞。

那我們就直接來看看AABB碰撞盒是如何運作的吧。

 

這裡有兩個矩形A、B,Box A最小邊為A.min、最大邊為A.max,而Box B同理。

如上圖所示,當A.max < B.min時,代表兩物體之間仍有縫隙,沒有發生碰撞。

上圖可以明顯地看到A與B發生碰撞,當A.max > B.min時,代表兩物體之間沒有縫隙,發生碰撞。

但前面只討論B在A右側,當B在A的左側時,條件就要稍微改一下,

當B在A的左側時,B.max > A.min時發生碰撞。

 

將兩張圖的結果合在一起,整理成code:

為什麼使用 AND 來判斷?

只要A在B的右邊,那麼A.max就會永遠大於B.min,因為A.max > B.min是用在A在左邊的碰撞判斷,所以只要沒有發生碰撞,就代表只有一個條件會是True,碰撞無法成立,所以使用 AND。

 

那麼當A在B的上面或下面呢?

方法是一樣,對Y軸上的min、max判斷即可。

 

讓我們來看看程式碼 :

測試結果:

原始碼在結尾與感想的最後。

 

 

如上圖,我們能明顯的看出兩物體沒有發生碰撞,但是用AABB碰撞檢測,答案卻是…發生碰撞。

 

AABB碰撞檢測算法雖然計算方法簡單、速度快,但卻有幾個問題:

1.當物體旋轉時就無法檢查

2.只能檢查矩型物體

 

那麼要如何解決這兩個問題呢?

沒錯,就是本文的主題「SAT碰撞檢測」,這個方法可以完美的解決這兩個問題。

 

讓我們進入下一階段。

 

2. 什麼是分離軸檢測?

如果有兩個凸多邊形,在任意角度下的投影皆有重疊,代表物體發生碰撞,否則只要有縫隙,就代表沒有碰撞。

這張圖看不清楚的話,建議右鍵->在新分頁中開啟圖片

簡單來說,就是如果能在兩個物體間找到一條線來分離它們,那麼就代表這兩個物體之間沒有發生碰撞。

上圖中你可以看到第一排的物體之間有縫隙,所以能夠輕鬆地畫出一條線來分離它們,但第二排就沒辦法,因為這兩個物體已經相撞,之間沒有縫隙,所以找不出一條線來當分離線。

而分離線不只一條 :

到目前為止你已經大概了解什麼是分離線,聰明的你一定了解如何利用分離線來做碰撞檢測了。很簡單,只要檢查兩物體之間能不能找到分離線即可,因為只要找到一條分離線就代表物體之間有縫隙,表示沒有發生碰撞

 

而所謂的分離軸就是與分離線垂直的一條線,透過分離軸上物體的投影,來判斷是否發生碰撞。

 

所以我們能透過分離軸檢查旋轉的物體。

假設向量P是45度的延長線,由上圖可知,如果我們將A、B的「四個角投影在P向量上」,可以得到它們的min、max,接下來就能透過min、max來判斷碰撞。

 

這時因該會有幾個問題:

  1. 如何取得分離軸上的投影?
  2. 如何取得分離軸?

 

但是在解決那兩個問題前,先來看看前面這段話「四個角投影在P向量上」:

  1. 要如何計算其中一個角落在P向量上的投影?
  2. 要如何取得旋轉後的4個角?

 

所以在前往下一個階段之前,要先補充一些數學的知識。

 

 

3. 知識補充1 – 向量

知識補充1與2這兩段,可以先跳過,不影響閱讀,等到有看不懂的地方再回來看也行

 

為了解釋如何取得投影與分離軸,所以需要先補充向量的知識。

 

如果你的數學向量忘光的話,這裡推薦幾部教學影片:

南投高中數學課:
向量內積公式說明
單位向量的說明

Q仔高中數學教室:
向量的內積
向量內積的幾何意義與座標表示法

向量的內積:

我們可以透過兩向量之間的夾角來計算點積:

\(\vec A \cdot \vec B = \left | A \right |\left | B \right | \cos \theta\)

或使用座標來計算:

\(\vec A \cdot \vec B =A_{x} B_{x} + A_{y}B_{y}\)

有了這兩個公式後,就可以開始來證明文章需要的公式了

 

 

正射影:

\(\vec A \cdot \vec B = \left | \vec A \right |\left | \vec B \right | \cos \theta \)

\(\cos \theta = \frac{\vec A \cdot \vec B}{\left | \vec A \right |\left | \vec B \right |} =\frac{\left | \vec P \right |}{\left | \vec A \right |}\)

然後我們就會得到向量P的長度

\(\left | \vec P \right | =\frac{ \left | \vec A \right | (\vec A \cdot \vec B)}{\left | \vec A \right |\left | \vec B \right |}=\frac{ \vec A \cdot \vec B}{\left | \vec B \right |}\)

但這裡求出的P是長度(正射影長),只有大小,沒有方向

回到上圖可以觀察出P向量的方向是延著B向量,所以只要讓 純量P * 單位向量B,就能得到A在B上的正射影。

\(\vec P=\frac{ \vec A \cdot \vec B}{\left | \vec B \right |} * \frac{\vec B}{\left | \vec B \right |} =\frac{(\vec A \cdot \vec B)\vec B}{\left | \vec B \right |^{2}}\)

所謂的單位向量就是大小為1的方向向量,而純量只有大小,兩個相乘即可得到長度為P且方向為B的向量 (如果還是不太懂的話可以自己畫圖證明看看)。

所以正射影是A向量在B向量上的分量。

了解正射影後,就能取得物體在分離軸上的投影了。

 

 

法向量:

定義:垂直於平面的向量。

\(\vec A \cdot \vec B =A_{x} B_{x} + A_{y}B_{y}\)

從點積公式可以得出,當兩向量垂直時,向量內積會是零。

 

假設A向量為(3, 4),求A的法向量,那麼我們只要將A帶進去,並湊一個能滿足等式為零的參數就是法向量。

\((3)(B_{x}) + (4)(B_{y}) = 0\)

這時B向量會有無限多組合,但是有其中兩組(4, -3)、(-4, 3),剛好就是A向量的座標互換並加負號。

 

所以我們可以得到下圖結果:

了解如何取得法向量後,就能取得需要檢查的分離軸了。

 

 

有了向量、內積、正射影長、法向量,讓我們建立一個簡易的向量函式庫吧

使用方式:

 

 

4. 知識補充2 – 旋轉變換

為了解釋如何取得物體旋轉後的角落,所以需要先補充旋轉變換的知識。

 

其作用為以原點為中心旋轉θ角:

說明:

如上圖,座標平面上\(L = \overline{OP}\)

且點\(P(x_{1}, y_{1})\)滿足\(x_{1} = L*\cos \alpha, y_{1} = L*\sin \alpha\)

那麼,以原點O為中心,將這個點以逆時針旋轉 \(\theta\)角後得到\(P'(x_{2}, y_{2})\)

 

方法一:

先取得\(\overline{OP}\)與\(\alpha\),那麼\(P’\)就是\(( L*\cos (\alpha +\theta ), L*\sin (\alpha +\theta ) )\)

 

但在電腦中取得OP長要透過畢氏定理開根號來取得,加上只有P點不知道α角的時候,要再叫用Math.atan2(y, x)取得α後在計算,比較麻煩。

所以有一個改良版

和角公式:

\(\begin{cases} \cos(\alpha+\theta ) = \cos \alpha \cos \theta – \sin \alpha \sin \theta \\ \sin(\alpha+\theta ) = \sin \alpha\cos \theta + \cos \alpha\sin \theta \end{cases}\)

所以

\(\begin{cases} \cos(\alpha+\theta ) = \frac{x_{2}}{L} = \frac{x_{1}}{L}\times \cos\theta – \frac{y_{1}}{L} \times \sin\theta \\ \sin(\alpha+\theta ) = \frac{y_{2}}{L} = \frac{y_{1}}{L}\times \cos\theta – \frac{x_{1}}{L} \times \sin\theta \end{cases}\)

同乘L後即可得到

\(\begin{cases} x_{2}=x_{1}\cos \theta-y_{1} \sin\theta \\ y_{2}=y_{1}\cos\theta+x_{1}\sin\theta \end{cases}\)

而這個就是我們要的旋轉公式

 

矩陣表示法

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x_{2}}\\ {y_{2}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \theta }&{ – \sin \theta }\\ {\sin \theta }&{\cos \theta } \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x_{1}\\ y_{1} \end{array}} \right]\)

而下面這矩陣就是所謂的旋轉矩陣,未來電腦圖學會很常用到

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \theta }&{ – \sin \theta }\\ {\sin \theta }&{\cos \theta } \end{array}} \right]\)

 

講解完後,讓我們把這段公式加入我們的向量函式庫吧。

angle為弧度,並以原點(0,0)為中心旋轉angle角:

 

5. 如何取得分離軸上的投影?

有了投影公式後,接下來只要把A、B的四個角投影在P向量上就能知道min、max了。

 

這時卻出現了一個狀況,如果兩個物體方向不一樣呢?

由上圖可知,當兩物體方向不同時,只要4個角落中選一個最小和最大的,就是min、max。

 

那我們要如何透過投影來判斷碰撞?

由上圖可以看到,A.max、B.min在P向量上的投影圖。

B.min > A.max時,代表他們之間有分離線,所以沒有碰撞。當位置交換時A.min > B.max時代表有間距。

 

讓我們把結果整理成code

這邊選擇True為分離是因為這是分離軸檢測,我認為這樣比較符合。

 

了解如何取得min、max,並如何判斷後,就可以進入下個階段了。

 

 

6. 編寫程式碼-投影、旋轉與判斷

第一步,我們需要取得矩形上的四個角,這時就需要前面的「知識補充2-旋轉變換」

如果直接將四個角套用旋轉公式的話,就會像左圖一樣,物體繞中心旋轉。

但我們想要的是右圖中,物體原地旋轉的效果,所以要將旋轉公式做點更動。

如上圖的步驟,我們需要的旋轉是以矩形中心為參考點做旋轉,而原公式以原點做旋轉,所以需要先將物體平移到原點,旋轉完後再將其平移回來。

\(\left\{\begin{matrix}x_{1}’ = [(x_{1}-x_{0})\cos\theta-(y_{1}-y_{0})\sin\theta] + x_{0}\\ y_{1}’ = [(y_{1}-y_{0})\cos\theta+(x_{1}-x_{0})\sin\theta] + y_{0}\end{matrix}\right.\)
讓我們把這個公式加入向量函式庫

 

 

然後讓我們來建立一個基本的物體:

先簡單寫出Box的結構

接下來只要呼叫getVertices()就能取得四個角的陣列了

 

第二步,取得box1在分離軸上的min、max投影。而box2也是一樣的方法。

 

最後,當我們有了box1和box2的min、max後,就可以檢查他們是否在axis這個軸上碰撞

 

讓我們把min、max的取得整理一下,變成可呼叫的方法

 

 

 

7. 如何取得分離軸?

在SAT介紹的時候也提到,兩物體間有無限多條分離軸,難不成要真的從0度~360度的分離軸全部投影一變嗎?

其實不需要,我們只需要沿著物體所有邊上的法向量當作分離軸作檢查,即可判斷。

由上圖可知,如果我們將三角形向左平移,直到與五角形投影重疊時,代表他們發生碰撞。

而綠色那條分離線,可以當作五角形守備的領域,只要有東西進到這裡,就代表碰撞。

如上圖,將五角形每個邊上的檢查線都畫出來後,只要取跟檢查線垂直的軸,就是我們需要的分離軸。

只要有任何物體進入綠色分離線的包圍區就代表物體與五角形發生碰撞

 

那麼要如何取得邊上的法向量?

這時候就是補充知識1-法向量派上用場的時候了。

如上圖,對每個邊向量取法向量即可,而我這邊以順時針、取左法向量為例子。

可以發現,在矩形中會有兩組方向相反的法向量,所以可以透過優化找出重複的法向量增加效率,但通常只對矩形有效果。

 

先讓讓我們在Box物件中再加入getNorms()這個方法

有了頂點取得的方式、投影大小的判斷加上邊上法向量的取得,我相信你已經有足夠的知識來完成SAT碰撞檢測了。

 

 

8. 粗糙的矩形檢測

讓我們來看看針對矩形的程式碼,這段程式碼單純是了解檢查過程,如果你對判斷的方法不是很清楚的話希望你花一些時間看一下,後面會在寫出一個整理過的寫法。

這裡我假設A方塊的法向量是P、Q,B方塊的法向量是S、R,手動對它們一一檢查

測試結果:

但上面那個只適用在矩形上,而且Code又醜又長,所以讓我們把它整理一下。

 

 

9. 編寫程式碼 – 多邊形與多邊形

雖然這裡的寫法也還是沒有完全優化,其實你可以將normal_polygonA、B合併後在一起走訪,但我想範例這樣比較容易了解。

由Code可以看到,只要物體間有分離,就可以跳出並回傳結果,不需要再去檢查B的法向量。

要注意這邊的isSeparated在分離時為Ture、碰撞時為False,如果你要以碰撞作檢查的話記得加上NOT

 

使用範例:

測試結果:


原始碼在結尾與感想的最後。

 

 

10. 編寫程式碼 – 多邊形與圓

其實多邊形與圓的測試是一樣的,先看看這張圖:

聰明的你看到這張圖,大概就能明白我想說什麼了。

在做圓的判斷時,因為圓心到各個點長度都是R,所以我們可以透過圓心的投影來 +/- Radius來得到min、max

Code:

測試範例(因為我沒有自己實作,所以這個動畫引用自這裡,雖然我的做法跟他的不太一樣,不過結果是一樣的):

 

 

11. SAT的總結

關於SAT的優缺點:

  1. SAT的方法是些假設兩物體是分離的,並在檢查中只要成功找到正確的分離軸,就直接跳出,所以當物體都是分離狀態時,SAT的效率是非常高的。
  2. 只要物體之間有碰撞,SAT就必須檢查所有的法向量,來確保物體之間沒有分離線,越多的物體發生碰撞,效率也就越低。
  3. 因為SAT是採用所有法向量來作檢測,當多邊形的邊越多時,效率也會越來越低,但可以透過找出正負相反的法向量來減少檢查次數。
  4. SAT雖然無法檢查凹多邊形,但是能透過將多個凸多邊形組合成凹多邊形的形狀,來作碰撞檢測。

如上圖中的賽車,雖然它的形狀是凹邊形,但能透果右邊的方式來做精密的碰撞檢測

5. SAT在運算時能夠取得碰撞物體間的最小穿透量(MTV, Minimum translation vector),所以能夠處理物體間的碰撞回饋,並進一步地達成剛體動力學的模擬。

如上圖,當我們希望物體不要發生穿透時,就會需要所謂的MTV,當物體穿透時,選一個最小的穿透量,將它平移回去

 

所以SAT碰撞在做過效能調整後,是很好的碰撞檢測演算法,靈活度也很高,是很多物理引擎會採用的檢測法之一。

還有另一個凸邊形的高效演算法GJK以疊代地生成單形以對兩個凸集求閔可夫斯基和,有興趣可以研究看看。

 

如果對碰撞方法有興趣的話可以參考這篇:

Bullet physics engin軟體工程師-Erwin Coumans: Collision Detection for Real-Time Simulation

其他相關資源:

SAT (Separating Axis Theorem)

2D Collision Detection

2D polygon-based collision detection and response

Video Game Physics Tutorial

 

 

12. 多物體的碰撞優化

當我們要檢查多個物體碰撞時,通常會直接對所有物體互相進行判斷,就像下面這段Code:

基本枚舉法的Code:

shapes是指所有的物體陣列

 

用這種最直觀的方式檢查,時間複雜度會達到O(n!),當場景複雜,需要檢測的物體變多後,用枚舉的方式檢測可能會導致遊戲延遲。

其中最大的問題就是,當場景中有兩個距離非常遠的物體,遠到根本不可能發生碰撞,卻照樣對他們進行檢測,導致效能的浪費。

 

這裡簡單的介紹一個優化方法 – AABB Tree:

建立ABT的方法跟建立二元樹的方法一樣,來看執行步驟:

  • Step1. 把A加入樹中,作為根結點。
  • Step2. 把B加入樹中,判斷是否與根結點A有碰撞,如果有的話就在繼續比較子節點,如果都沒有與子節點有碰撞,就把B加入子節點後,如果與節點都沒有碰撞的話,就把A、B當作一個新區域,並生成A、B的父節點(橘色圈圈)。
  • Step3. 把C加入樹中,方法跟Step2一樣,最後得到上圖中的樹。

假如我要檢查A物體時,只需要檢查同在橘色區域的B物體即可。

 

AABB Tree在建立時,就先把有機會碰撞的放在同一區,有了這樣的結構後,要判斷碰撞的效率就提高了,因為只需判斷與該物體同區域的物體即可,並不需要全部檢查,使得時間複雜度縮減到O(log n)。

 

而其他多物體碰撞的演算法還有:

四叉樹(Quad Trees)、八叉樹(octree)、二元分割樹(BSP tree)、kd樹、球體樹(sphere tree)、R樹(R tree)、碰撞投影、光線投影等等…,有興趣的可以在自己研究。

 

 

13. 動態物體間的碰撞檢測

這裡為大家提供一些解決的方向,我目前知道有這種解決方法,但礙於能力不足,只研究到觀念部分。

 

在我們前面講的碰撞檢測方法都只適用在靜態,什麼意思呢?

在遊戲中做的碰撞檢測其實是以離散時間來模擬,因此在每個瞬間,物體的位置和方向是靜止的,就像快照一樣,若物體的移動速度與其相對尺寸來說不是太快的話,這種方法是可行的,事實上在許多物理引擎中,都是使用這種方法。

但對於較小且高速的移動物體,這種方法就會失效,想像現在有個很小的物體,他每次更新時的移動幅度大於碰撞體的尺寸,就會發生「穿隧」的問題。

如上圖所示,細小且快速的物體移動時,其路徑可能留下縫隙,導致碰撞失效。

 

解決方法

掃描形狀(swept shape):

對一個物體的位置、速率與加速度取線性穿插,得到一個時間段的物體快照,再透過掃描的形狀做檢測。

如上圖,中間的移動量就是兩次快照間的穿隧量,而球體的掃描體變成膠囊狀,三角形的掃描體變成三角柱。

 

若要掃描的物體正在旋轉,也能透過線性穿插來建立掃描形狀

形狀掃描對動態物體來說,是一個有效的檢測技術,能保證不錯過快照之間的碰撞。

缺點是,若物體的行進路線為曲線甚至旋轉,僅透過線性穿插計算,其結果是不準確的,所以要再根據狀況使用更精準的技術。

 

其實還有很多更好的解決方案,有興趣的可以在自己研究。

 

 

14. 結尾與感想

那麼為什麼要對碰撞這麼刁鑽,就是為了能模擬物理效果,當碰撞的處理達到一定的程度後,就可以邁向下一個階段「剛體動力學」與「物理模擬」,讓電腦中的物體越來越接近現實,有趣吧。

光是碰撞的處理就有這麼多複雜的技術問題,就可以了解高階遊戲開發工程師是多麼厲害的一群人了。

為了做出更好的遊戲,還要很多東西要學,為了能有效的使用電腦資源,要學會作業系統架構、演算法、資料結構並精通程式語言,要能在螢幕中顯示各種效果、視角操控,還要學習電腦圖學、線性代數,為了處理物理模擬,還要學習古典物理、高等微積分,而這些東西到了三維空間後,又更加複雜,還有專案管理等等附加技能,加上遊戲工程師們也不斷的在進化,搞不好一輩子都學不完呢。

 

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終於寫完了,這篇文中我嘗試用各種插圖來解釋一些觀念,不知不覺就打了這麼多,我Coding技巧很差,範例執行的效率可能沒有很好,但我想對這篇文想表達的內容影響不大。

 

最後,感謝你的觀看,希望你在閱讀後能有些收穫。

對這文章有任何問題,歡迎在下方留言提出意見,或是E-mail與我聯絡davidmd9830415@gmail.com。

 

我的多邊形碰撞範例 : http://davidhsu666.com/downloads/Collision-SAT/ver0.2.1-polygon-merge/

自製的向量函式庫 : https://github.com/md9830415/JS-Vector2D

 

附上文章範例Source Code: https://github.com/md9830415/Collision-Detection-article

我的github中也有放多邊形碰撞的Source Code,有興趣的可以看看。

 

大概就是這樣了,讓我們下期再見,掰掰。

 

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參考資源 :

Game Engine Architecture, Second Edition.pdf : here

Video Game Physics Tutorial : here

Collision Detection for Real-Time Simulation : here

Collision Detection – contact generation and GPU acceleration : here

Physics – Collision in 2 dimensions : here

Collision Detection Using the Separating Axis Theorem : here

SAT (Separating Axis Theorem) : here

2D Collision Detection : here

2D polygon-based collision detection and response : here

Collision detection : here

Collision resolution : here

Introductory Guide to AABB Tree Collision Detection : here

How to Create a Custom Physics Engine : here

Vector maths – a primer for games programmers : here

平面上基本的線性變換:旋轉、鏡射、伸縮、推移 : here

二階方陣表示的線性變換 : here

AABB包围盒算法,在2D碰撞检测中的实现 : here

“等一下,我碰!”——常见的2D碰撞检测 : here

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